מאמר הפתיחה של מכניקת הקוונטים

לפני 100 שנים בדיוק, ב־29 ביולי 1925, שלח הפיזיקאי הצעיר וורנר הייזנברג (אז בן 23 בלבד!) מאמר פורץ דרך, שהניח את היסודות למכניקת הקוונטים. מבלי לדעת, הוא ניסח מחדש את מכניקת המטריצות שממנה פותח עקרון האי־ודאות ולאחר מכן משוואת שרדינגר. איך הניסיון להסביר ספקטרום של אור הנפלט מאטום מימן הוביל למהפכה ששינתה את הפיזיקה לעד?

אילוסטרציה של וורנר הייזנברג מנסח את תורת הקוונטים

ב-29 ביולי, 1925, מקס בורן, פרופסור לפיזיקה מאוניברסיטת גוטינגן, שלח מאמר מהפכני לכתב עת בגרמניה. המאמר לא היה שלו, אלא שייך לעוזרו המדעי (במונחים של היום - פוסט-דוקטורט) בן ה-23, וורנר הייזנברג ובו הסבר תיאורטי לתופעות ספקטרוסקופיות. במתכוון או שלא, הייזנברג הניח את היסודות למכניקת הקוונטים שחוגגת 100 שנים להיווסדה. את גדלים הספקטרוסקופים כינה ״גדלים מדידים״ בשונה מאלו שתפס כ-״בלתי מדידים״ שמתארים את תנועתו של האלקטרון באותה מערכת מיקרוסקופית. אציין שהפרשנות המודרנית למונח ״גודל מדיד״ שונה מזו שהייזנברג העניק. לתפיסתו, מיקומו של האלקטרון הוא גודל לא מדיד, מהסיבה שטכנית לא היו ניסויים שיכלו למדוד את מיקומו של האלקטרון בתוך האטום. כיום גודל מדיד הוא גודל פיזיקאלי שמאפיין גופים ושלכאורה ניתן למדידה גם אם טכנולוגית כרגע קיימת מגבלה (בשפה של מכניקת הקוונטים גודל מדיד מתואר על ידי אופרטור הרמיטי).

מכניקת הקוונטים של הייזנברג לא נוצרה בוואקום, היא נכתבה בהשראת תגליות מדעיות שהתגלו בתקופתו. מודל האטום של בוהר (1913) היה פחות או יותר ידוע - גרעין של מטענים חיוביים במרכז, ואלקטרונים בעלי מטען שלילי שחגים סביבו. הכוח הקושר בין שני החלקיקים הוא הכוח האלקטרומגנטי, והוא שגורם לאלקטרון לחוג סביב הגרעין. מהמכניקה הקלאסית של הכוח האלקטרומגנטי נובע שמטענים מאיצים, כמו האלקטרונים באטום, פולטים קרינה. בנוסף, נצפה קשר אינטימי בין תנועת המטענים (הגדלים הבלתי מדידים של הייזנברג) לבין הקרינה עצמה, או אם להיות מדויקים יותר, לספקטרום האור הנפלט (הגודל המדיד). יחד עם זאת, עוד בתקופתו של בוהר סברו שבמעבר למכניקת הקוונטים הרעיון לא מחזיק מים ושהקשר כנראה מורכב יותר. בוהר בעצמו ניסה לחשוב על קשר משכנע שלבסוף הוביל אותו לפיתוח עיקרון ההתאמה. בניסוחו הפשוט, עיקרון ההתאמה אומר שבגבול של מספרים קוונטים גדולים הפיזיקה נשמעת לחוקים הקלאסיים (מספר קוונטי הוא כל גודל דיסקרטי שמכניקת הקוונטים מנבאת כתלות בהקשר, כמו אנרגיה, מספר חלקיקים וכצ״ב). לאור הכישלון, בוהר הניח בצד את הניסיון למצוא קשר מוצק בין תדר האור לתדירות התנועה של אלקטרונים באטום, אך בשנת 1925, בהפרש זמנים יחסית קטן, הייזנברג הצליח למלא את החורים.

הייזנברג שאב את השראתו מנוסחת רידברג שמתארת את ספקטרום הפליטה של אטום המימן. הנוסחה חוברת בין תדר האור הנפלט מהאטום ובין שינוי האנרגיה של האלקטרון. את רמות האנרגיה של אטום המימן ידעו כבר לנסח בעזרת שיטות שפיתחו בוהר וזומרפלד אך עליהן לא נתעכב כאן. אלו שייכות לתורת הקוונטים הישנה ופחות רלוונטיות להיום. מה שחשוב לדעת בהקשר זה הוא שהחישוב של בוהר וזומנפלד הוביל ל״קוונטיזציה״ של רמות האנרגיה, כלומר לעובדה שאלקטרון יכול לשאת בסט בדיד של רמות אנרגיה המסווגות במספר שלם כלשהו. האנרגיה מתוארת על ידי הנוסחה הבאה:

כאשר אלפא הוא קבוע בעל יחידות שעליהן לא נתעכב ו-n הוא מספר שלם בדיד (1,2,3,...) שמגדיר את רמת האנרגיה E. לפיכך, בעת פליטה של אור, האלקטרון קופץ מרמת אנרגיה אחת לשניה.

לצד ההצלחות, נוסחת רידברג הציפה שאלה שרבים לא ידעו להסביר. לרוב אם מערכת פיזיקאלית מתנדנדת בתדר מסוים, נצפה למדוד גם את כל ההרמוניות שלה, כלומר תדרים שהם כפולה שלמה של תדר הבסיס. אך באטום המימן, תדר האור קשור רק להפרשי האנרגיה ואלו לא בהכרח מכילים הרמוניות. הייזנברג פירש זאת כך -אי אפשר להניח שתדירות התנועה של האלקטרון היא גודל מדיד, אחרת היינו מודדים גם את ההרמוניות שלה. מה שכן מדיד הוא ספקטרום האור.

אם נוסחת רידברג טוענת שתדירות האור שנפלטת קשורה ישירות להפרשי האנרגיה, אזי כל הגדלים הפיזיקאלים, ובפרט המיקום והתנע חייבים להיות תלויים ב:

כאשר תדר האור שנפלט מסומן באות אומגה

האינדקסים m,n הם מספרים שלמים שמתארים את רמת האנרגיה, ככל שהאינדקס גדול יותר, האנרגיה גדולה יותר. כמובן ש

היא האנרגיה ה-i ית, ו-h

הוא קבוע פלאנק.

את הקשר בין הגדלים הפיזיקאלים הלא מדידים לגדלים המדידים הייזנברג ניסח כך:

כאשר q הוא המיקום של האלקטרון, p הוא התנע. האות המודגשת מתארת מטריצה והאות שאינה מודגשת מתארת מספר (או סקלר). במילים האחרות, הייזנברג טען שאותה קפיצה קוונטית שבוהר הניח נובעת מהעובדה שכל המערכת הקוונטית נעה בתדירות הפליטה של האור, כלומר התנע והמיקום ביחד. שימו לב שכעת המיקום והתנע תלויים בגודל שנובע מההפרש של שני גדלים שלכאורה אמורים להיות מדידים לחוד. כאן וויתרנו על הרעיון שאלקטרון נע בתדירות m ואח״כ בתדירות n בנפרד. כעת הטענה היא שהמיקום של האלקטרון לא מוגדר היטב, אבל הדבר היחיד שניתן לומר עליו הוא שיש רכיב של מיקום ורכיב של תנע המשפיעים על תהליך הפליטה כתלות בתדר שבו הוא נפלט. לאלו שמכירים, כל מה שעשינו כאן הוא למעשה פירוק של המיקום והתנע לרכיבי פורייה, כאשר תדרי פורייה מזוהים עם האנרגיה של האור, או הפרשי האנרגיה של אטום המימן. כעת הטענה היא שהגודל שנשמע למשוואות התנועה של האלקטרון הוא לא המיקום והתנע, אלא רכיבי הפורייה של אותם גדלים.

האלגברה שהייזנברג פיתח הראתה שכפולה בין המיקום והתנע או בינם לבין עצמם משמרת את העובדה שכל פונקציה שמורכבת מגדלים לא מדידים עדיין תהיה תלויה בהפרשי האנרגיה של אטום המימן, או במילים אחרות בתדר מדיד. עובדה זו שכנעה את הייזנברג שזו הדרך הנכונה לתאר את מכניקת הקוונטים. הייזנברג קרא לגדלים אלו טבלו (מהמילה הצרפתית טבלה), אך הוא לא ידע שלמעשה הוא בסך הכל משחזר את האלגברה של מטריצות. בתקופתו, אלגברה לינארית לא היה תחום פופולארי בקרב פיזיקאים והמודעות למתמטיקה אלגברית הייתה נמוכה. היום בעקבות המהפכה הקוונטית, אלגברה לינארית הוא נושא בסיסי שנלמד כבר במהלך השנה הראשונה לתואר בפיזיקה.

הניסוח של הגדלים הלא מדידים מהווה נקודת מוצא ומתוכה ניתן להוכיח מספר דברים, למשל את משוואת שרדינגר. מנגזרת בזמן על מטריצת המיקום מקבלים:

בבסיס האנרגיה נטען שהמספרים שמייצגים את האנרגיה ברמה ה-m ו-n נובעות מאופרטור הממילטוניאן. ההפרש בין רמות האנרגיה למעשה רומז שהקשר מלמעלה צריך להיות כך:

ברמה האופרטורית, כאשר

וזוהי בדיוק משוואת שרדינגר על האופרטורים (ידועה כיום בתור משוואת הייזנברג).

בשלב זה צריך להיזהר מעט כי דילגנו בדרך על העובדה שההמילטוניאן לא משתנה בזמן, או אם להיות יותר מדויקים, שהתלות הזמנית במשוואה נובעת אך ורק מהאקספוננט.

להוכיח את עיקרון האי וודאות

הדבר השני שנוכל להוכיח הוא את עיקרון האי וודאות של הייזנברג. זו לא הנחה, אלא הוכחה מתוך הניסוח המתמטי של הגדלים הלא מדידים. לשם שלמות נניח שמשוואות התנועה על המיקום והתנע דומות למשוואות הקלאסיות, בנוסף לעובדה שהמיקום והתנע הן מטריצות, כלומר

שוב, ההבדל המרכזי הוא שהמשוואות כעת מופעלות על מטריצות, לא על סקלארים.

מכאן נוכל לטעון שיחס החילוף בין המיקום לתנע הוא קבוע-

האיבר הראשון בצד הימני של המשוואה שווה לאפס מהגדרה, והאיבר השני גם כן שווה לאפס כי יחס החילוף של אופרטור ופונקציה של אותו אופרטור שווה זהותית לאפס. קיבלנו אם כך שיחס החילוף בין המיקום לתנע לא משתנה בזמן, או במילים אחרות שהוא קבוע.

מצד שני נוכל לכתוב את אברי הנגזרת בעזרת משוואת הייזנברג

וכדי שביטוי יתאפס לכל רמת אנרגיה m,n, נדרוש שיחס החילוף בין המיקום לתנע יהיה

כאשר הדלתא שמופיעה כאן היא הדלתא של קרוניקר, או במילים אחרות שווה לאחד כל עוד m=nֿ, אחרת היא שווה לאפס. המקדם שמופיע לצד הדלתא יכול לכאורה להיות תלוי ברמת האנרגיה ה-m ית, אך כדי להוכיח המקדם קבוע, נדרש להשתכנע בעוד זהות.

בבסיס האנרגיה נקבל

לכאורה נוכל לדרוש שהמקדם שתלוי ב-n שווה לאפס והמקדם שתלוי ב-m שווה לפעמיים קבוע פלאנק. למעשה אנחנו יכולים לבחור כאן כל חלוקה שהיא. אבל, אם נניח שיחס החילוף לא תלוי בהמילטוניאן, לא נוכל לטעון שהבסיס שמלכסן אותו, כלומר בסיס האנרגיה, משפיע על המקדמים. לכן, המקדם לא יכול להיות תלוי באמת באינדקס. במילים אחרות, המקדם c חייב להיות קבוע וזהה לכל רמת אנרגיה. מכאן נקבל

וזהו עיקרון האי וודאות המפורסם. נדגיש, הוכחנו את עיקרון האי וודאות, לא הנחנו אותו. ההוכחה כמובן מבוססת על מספר הנחות אחרות - הצורה הפונקציונלית של המיקום והתנע, וכמובן שמשוואות התנועה נכונות לאותן רכיבי פורייה. הספרות המודרנית היום עושה את התהליך ההפוך, היא מניחה את עיקרון האי וודאות כדי לקבל את משוואות ארנפסט (משוואות התנועה על המיקום והתנע הממוצעים).

אוסילטור הרמוני קוונטי

פיזיקאים רבים מתבדחים שהאוסילטור ההרמוני הוא המערכת היחידה שהם מסוגלים לחשב בדיוק מוחלט. מדובר במערכת יחסית פשוטה, המתאפיינת בהתנהגות מחזורית – כמו מטוטלת או קפיץ מתנדנד.

כשהמכניקה הקוונטית הישנה פותחה, הדבר הראשון שניסו להסביר הוא את האוסילטור ההרמוני בגרסתו הקוונטית. בוהר ורוזנפלד הראו שהאנרגיות האופייניות באוסליטור הרמוני מקוונטטות, כלומר מתקבלות כמנות בדידות.

כאשר n הוא מספר שלם חיובי ואומגה היא התדירות האופיינית של האוסילטור. במילים אחרות, כמו כל אוסילטור פשוט, גם באוסלטור הקוונטי מופיע התדר הבסיסי וההרמוניות שלו (קפיצות שלמות של התדר). בשונה מהאוסילטור הקלאסי, האנרגיה של האוסילטור לא קשורה למשרעת התדר, כלומר לגובה הגל, אלא רק לתדר שבו הוא נע. מה שבוהר וזומרפלד לא ידעו הוא שהחישוב שלהם איננו מדויק. הביטוי לאנרגיה רומז שרק בנוכחות גל למערכת יש אנרגיה ומכאן שרמת היסוד, המוגדרת על ידי המספר השלם n עם האנרגיה הנמוכה ביותר האפשרית שאינה אפס, היא עבור n=1. אך למען האמת, הנוסחה הנכונה היא

כלומר, גם ב-n=0 מושרית אנרגיה באוסילטור. זוהי אנרגית מצב היסוד האמיתית. הייזנברג במאמרו תיקן את נוסחת האנרגיה עם הקבוע החסר שהתבררה כנכונה גם ניסויית וגם תאורטית.

ההוכחה מתחילה מאותה נקודה שעצרנו

ובשילוב עם

מההגדרה של המיקום והתנע, נוכל לכתוב את יחס החילוף כך

ומשום שהביטוי הנ״ל שונה מאפס כל עוד m=n

הביטוי מעלה אולי נראה מוזר אבל הוא בסך הכל דרך שקולה לכתוב את עיקרון האי וודאות. כאן הנחנו שהמטריצה שמייצגת את המיקום היא הרמיטית. זו הנחה סבירה שהייזנברג השתמש כאן. מספקטרוסקופיה הוא ידע לתאר את המשולש העליון של מטריצת המיקום והתדר (כל האיברים מעל האלכסון). בשביל להשלים את המטריצה, הייזנברג הניח שהאיברים במשולש התחתון הם צימוד קומפלקסי ביחס לאיברים במשולש העליון. היום זו לא הנחה, ניתן להוכיח שכל גודל מדיד (במונחים של היום ולא של הייזנברג) חייב להיות מתואר על ידי אופרטור הרמיטי.

כעת אנחנו במקום הנכון לחשב את רמת היסוד של האוסילטור ההרמוני הקוונטי. להזכירכם ההמילטוניאן של מערכת זו היא:

וכעת מחישוב פשוט של משוואות התנועה:

אבל מצד שני, מהצורה הפונקציונלית של המיקום נקבל

וכשמשווים בניהם מקבלים

ולכן במקרה הכללי כאשר מטריצת המיקום שונה מאפס נקבל

להזכירכם, מהקווינטוט של בוהר וזומפרלד מקבלים ש-

לכן, כדי שהוא יקיים את התנאי מעליו, האינדקסים m ו-n צריכים להיות עוקבים.

אם נבחר לסמן את האנרגיה הנמוכה ביותר באינדקס 0, אזי האומגה היחידה שהאינדקס אפס מופיע בו היא

עבור

כי אין גם אנרגיה נמוכה ממנה לרדת, כלומר אין n=-1 והאומגה הזו חייבת להיות שלילית.

כעת עבור אותו איבר במטריצת המיקום, הביטוי החלופי לעיקרון האי וודאות, כלומר הסכום, קורס לאיבר אחד ומקבלים

כעת נוכל לחשב את רמת היסוד. אנרגיית היסוד שווה לאיבר

נשתמש בכל מה שגילינו עד עתה- בקשר בין התנע לבין המיקום ובעובדה שקיים איבר יחיד במטריצת המיקום שמכיל את האינדקס אפס

נפלא! הצלחנו להוכיח את אנרגיית רמת היסוד!

ההצלחה של הייזנברג לא הייתה שלו בלבד. חלק מההוכחות כאן היו בשיתוף עם ז׳ורדן ובוהר. שניהם הבינו שהניסוח של הייזנברג היה ניסוח מטריציוני ובשלושת המאמרים שבהם הייזנברג היה מעורב, בין אם לבד ובין אם שותפיו, הוא הניח את היסודות המתמטיים למכניקת הקוונטים שבהם נעשים שימוש עד היום, גם אם הניסוח מעט השתנה.